Stochastik
stefan am 1. März 2005 um 14:49 UhrIn der Schule kam ich in Mathe nur bis zum ‘Auge’. Ich weiß noch, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine in die Luft geworfene Münze ‘Kopf’ anzeigt - egal wie oft ich das mache - immer bei 50 % liegt. Aber dann verließen sie ihn. Vielleicht kann mir daher jemand mit meinem kleinen Stochastikproblem helfen. (Und, da ihr Frösche anscheinend so mögt, folgt eine kleine Froschtextaufgabe)
Grundsätzlich gibt es männliche und weibliche Frösche. Im Jugendstadium (nein, ich meine nicht die Kaulquappe) ist allerdings noch nicht auszumachen, welches Geschlecht die Frösche einmal haben werden. Die Wahrscheinlichkei, dass sich aus einem Jungfrosch ein Weibchen entwickelt, liegt bei 50 %.
Hans möchte aber nun gerne Frösche züchten und braucht dafür ein Pärchen (ein weibliches und ein männliches Exemplar - ein homosexuelles Pärchen bringt ihm nichts). Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Hans mindestens ein Männchen und mindestens ein Weibchen erhält, wenn er 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 oder 9 Jungfrösche kauft?
Die Rechnung sollte nicht allzu schwer sein. Ich hab zwar auch ‘ne Theorie (danach sollte bei 9 Jungfröschen eine 99 prozentige Wahrscheinlichkeit auf ein Pärchen bestehen), bin mir aber nicht sicher. Ich weiß auch, dass die Wahrscheinlichkeit ein Pärchen zu erhalten, wenn Hans nur einen Jungfrosch kauft, bei 0 % liegt. Aber wie rechnet man das? Also, bitte nicht nur Ergebnisse, sondern auch Rechenweg oder Formel. Ich bin gespannt.
Drehen Sie die Frage einfach um: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, bei n Fröschen n gleichgeschlechtliche zu erwischen. p = 0,5^(n-1). (Ein Frosch 100%, bei zwei Fröschen 50%, bzw. gibt es vier Kombinationen: Zwei Männchen, zwei Weibchen und die beiden gemischtgeschlechtlichen.
Jetzt wieder umgedreht erhalten Sie p(n)=1 - 2^(1-n). Und somit schon ab 8 Fröschen eine Wahrscheinlichkeit von ungefähr 99.21875%.
Das ist Kominatorisch gesehen ziemlich trivial:
Du hast 2 moegliche Elemente: m,w — die nennen wir fortan k;
Dann hast du n Versuche. Fuer n=1 ist das Ergebnis ja schon bekannt. Jetzt muessen wir die Anzahl der guenstigen Ereignisse gegen die Anzahl der moeglichen Ereignisse vergleichen.
Wir haben eine “Kombination mit Wiederholung” d.h.: Wenn wir einen weiblichen Frosch gekauft haben koennen wir wieder einen weiblichen kaufen (wiederholung) und es ist egal in welcher Reihenfolge wir einkaufen (kombination). Die Formel dafuer (jeweilige Anzahl der moeglichen Ereignisse) lautet:
n+k-1 ueber k
oder
(n+k-1)!/k!(n-1)!
demnach hat man fuer 2,3,4,5,6,7,8,9 Froesche pro Einkauf jeweils 3,4,5,6,7,8,9,10 moegliche Ereignisse
(mm,mw,mm; mmm,mmw,mww,www …). Nun brauchen wir fuer jedes n die Anzahl der guenstigen Ereignisse; Man sieht leicht, dass das alle sind, abzueglich der Kombinationen wo nur maennchen oder nur weibchen — jeweils 2 (mm,ww;mmm,www;…) also hat man jeweils 3-2,4-2,5-2,6-2,7-2,8-2,9-2,10-2 also 1,2,3,4,5,6,7,8 guenstige Ereignisse. Fuer n=9 haben wir also 8 guenstige unter 10 moeglichen Ereignissen. 8/10 = 80% und fuer n=2: 3 moegliche 1 guenstiges also ein drittel.
mfg Martin Ringehahn (der sich eh auf die Statistik-Pruefung vorbereiten muss)
1
bei jedem einzelnen kauf ist die wahrscheinlichkeit, ein männchen zu kaufen: 0,5.
die wahrscheinlichkeit, dass es 9 mal hintereinander ein männchen ist: 0,5 hoch 9 gleich 0,001953125.
2
die wahrscheinlichkeit, dass es alles weibchen sind, ist genau so hoch: 0,001953125.
3
diese beiden ereignisse dürfen *nicht* eintreten.
die wahrscheinlichkeit dafür:
1 minus (2 mal 0,001953125) gleich 0,99609375.
in prozent: 99,609375.
ist nicht direkt eine formel, aber so würde ich es rechnen.
ähm, soweit ich das jetzt verstehe, haben wir schon zwei verschiedene Möglichkeiten:
nach Andreas (zu der Rechnung neige auch ich) müsste bei 9 Jungfröschen die Wahrscheinlichkeit bei 99,6 % liegen.
nach Martin liegt die Wahrscheinlichkeit bei 80 %.
Ich muss aber zugeben, dass ich Martins Rechnung noch nicht ganz verstehe. wofür steht denn das ! in der Formel? ich nehme an du meinst (mm,mw,ww;)
vielleicht verstehe ich das falsch: du meinst bei 2 fröschen liegt nur eine Wahrscheinlichkeit von 33,3% vor? ich würde von 50 % ausgehen, da vorliegen kann: (mm, mw, wm, ww;), oder nicht ?
edit: oh, bov da haben sich unsere einträge überschnitten.
genauso habe ich auch gerechnet:
k1 = 1 = 0 %
k2 = 2 = 50 %
k3 = k2 + (100-k2)*50% = 75 %
k4 = k3 + (100-k3)*50% = 87,5%
k5 = k4 + (100-k4)*50% = 93,75%
…
etwas kompliziert und mathematisch wahrscheinlich daneben (allein schon des %-Zeichens wegen), aber so oder ähnlich hab ich mich damals durchs Mathe-Abi gerettet.
Naja man muss beachten, dass es egal ist ob man nun mmmw oder mwmm Froesche auf der Hand hat, es bleibt bei: 3m, 1w; Die 99,x Varianten betrachten alle mmwm mwmm, wmmm, … als Verschiedene Varianten (variation) was so nicht stimmt (3w1m gibts nur einmal - und kommen damit auf sehr viele guenstige Ereignisse, die aber jeweils vollkommen identisch sind)
also mw und wm sind nicht zwei guenstige moeglichkeiten, sondern eine (1 maennchen, 1 weibchen) — egal in welcher variation (die haengt naemlich von deiner Zaehlart ab, zaehlst du nach der Reihenfolge des Kaufes oder nach welchem Kriterium? Wenn kein Kriterium vorhanden ist, dann ist die Reihenfolge unwesentlich und mw==wm).
das ! steht fuer Fakultaet
http://de.wikipedia.org/wiki/Fakult%C3%A4t_(Mathematik)
und die Formel stammt aus http://de.wikipedia.org/wiki/Kombinatorik und kann auch in Formelsammlungen nachgeschlagen werden.
gruesse
kapier ich trotzdem nicht:
sehe ich das richtig, dass deiner Meinung nach die Wahrscheinlichkeit bei 9 Fröschen ein Pärchen zu erhalten bei 80% liegt?
wenn Andreas von 99,6 % ausgeht, muss eine Rechnung doch falsch sein.
Auch wenn es sich lediglich um Variationen handelt, müsste die Wahrscheinlichkeit doch die gleiche sein. Denn zwar spielt die Reihenfolge keine Rolle, aber trotzdem kann frosch1 männlich oder weiblich werden und frosch2 ebenso. heißt doch es gibt 4 verschiedene Kombinationsmöglichkeiten, von denen zwar bei zweien (mw, wm) egal ist, welcher frosch was wird, dennoch bleiben 2 von 4 möglichkeiten positiv = 50 %. Nein?
jep, das siehst du richtig denn — ausgeschrieben:
mmmmmmmmm unguenstig
mmmmmmmmw guenstig
mmmmmmmww guenstig
mmmmmmwww guenstig
mmmmmwwww guenstig
mmmmwwwww guenstig
mmmwwwwww guenstig
mmwwwwwww guenstig
mwwwwwwww guenstig
wwwwwwwww unguenstig
10 Moeglichkeiten, 2 davon unguenstig. Permutationen bzw Anordnung und Reihenfolge der guenstigen Ereignisse ist wird nicht betrachtet.
In den 99%igen Varianten werden alle Permutationen jedes guenstigen Ereignisses auch als guenstiges Ereignis betrachtet — bei 9 einzukaufenden Froeschen gaebe es dann 2^9 also 512 moegliche Ereignisse, von denen 2 unguenstig waeren. 510/512 = 99,6093…%
Meiner Meinung nach ist die Reihenfolge unerheblich, demnach wuerde ich die erstere Variante favorisieren.
gruesse
haha, doch komplizierter als ich dachte. was ist denn jetzt richtig? und wie finden wir’s raus?
Hab jetzt mal nen Mathematiker des Vertrauens (kein Statistiker) befragt — der meint, dass die Antwort von Andreas und aequivalente richtig seien, begruendet ungefaehr mit 1m1w = 1/2 (wm 1/4 + mw 1/4) weswegen mein 1m1w mit 1/3 falsch sei.
Da kann ich mich ja auf die Statistikpruefung freuen, denn ich halte nach wie vor meine Loesung fuer sehr plausibel.
hihi, danke für die Mühe.
Dennoch viel Glück mit der Prüfung
Mir ist nicht einsichtig, warum die Anzahl der Permutationen unter den Tisch fallen sollte? Auf das geüwnschte Resultat (mindestens ein männlicher und ein weiblicher Frosch) hat die Reihenfolge keinen Einfluss, aber bei zwei Fröschen gibt es eben 2 Hetero-Kombinationen (neben dem schwulen und dem lesbischen Pärchen).
Oder malen Sie einen kompletten Entscheidungsbaum. Sie haben zwei Blätter (von insgesamt 2^n), die die Eintrittswahrscheinlichkeit “nur männlich” oder “nur weiblich” beschreiben. Alle restlichen sind “günstige”. Deren Anzahl 2^n -2. Also p(n) = (2^n - 2)/2^n = 1 - 2^(1-n).
@Stefan, Bov: Was übrigens auch Eure Argumentation in eine Formel gegossen ist.
so, ich hab das jetzt auch mal experimentell geprueft und muss nun zu dem schluss kommen, dass meine Loesung definitiv falsch war. Richtig ist die loesung mit 510/512 usw..
so far..
wen das experiment interessiert — python quellcode:
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import random import fpformat def main(): auswahl = ('w','m') bla=[] anz = 0 guenst = 0 unguenst = 0 while(1): for i in range(9): bla.append(random.choice(auswahl)) if max(bla) == min(bla): unguenst = unguenst + 1 else: guenst = guenst + 1 anz = anz + 1 if anz%100 == 0: print fpformat.fix(float(guenst)/float(anz ),5) bla = [] if __name__ == "__main__": main()um himmels willen!
vielleicht lässt sich das mit rechten und linken socken leichter rechnen oder wenigstens empirieren?
kaufst du linke und rechte socken getrennt?
bezüglich des münzenwerfens empfehle ich den film “rosenkrantz and guildenstern are dead”, und dort die anfangssequenz. wo nämlich etwa 10 min. lang eine münze geworfen wird, die immer auf kopf fällt. es ist ein ewiges mysterium…
(hier zwei links: 1|2)
über frösche hingegen weiß ich rein gar nichts.